Noves metodologies per a fer què?

Últimament tinc la impressió que centrem els canvis a l'escola en relació a les metodologies: grups cooperatius, coavaluació, autoavaluació, codocència, i tot un seguit de mètodes per a explicar...
També parlem que no és tant explicar sinó que cal que l'alumne descobreixi i creï.

Però què és el que hem d'explicar o han de descobrir? Quins són els continguts? Fins que no tinguem clara aquesta resposta l'eficiència del canvi serà relativa.

PD:Això ho vaig escriure el 2015 i va quedar com esborrany. A gener de 2021 la pregunta continua tenint sentit.

Un metre quadrat ha de ser quadrat?

Estem treballant les unitats a primer d'ESO. Procuro donar molta importància al fet que els alumnes visualitzin les unitats. Han de saber què és un metre o un centímetre, no només a partir de la definició sinó la mida que els correspon.

Abans de dir res, els demano que separin els dits un centímetre. Si no ho heu fet, us ho recomano.

Ara feia dies que parlàvem de metres quadrats, fins i tot, n'havíem portat a l'aula en paper o tela. Però amb alguns comentaris te n'adones que hi ha alguna cosa que no encaixa, que sembla que s'entén però no del tot... així que els he fet la següent pregunta:

Una superfície que ocupi un metre quadrat, ha de ser quadrada? Per deixar-ho clar: una taula que té una superfície d'un metre quadrat, ha de ser quadrada?

Aquesta pregunta els ha descol·locat. Moltes respostes errònies que s'han corregit amb molta facilitat i amb un simple dibuix d'un metre quadrat, que hem partit tot desplaçant un dels rectangles al costat de l'altre. La superfície es mantenia constant i no era quadrat. És fàcil avançar si els conceptes estan ben fonamentats.

Una altra pregunta interessant... 

Quina és la superfície d'un quadradet de la llibreta si 4 quadradets tenen una superfície d'un centímetre quadrat?

Algunes de les respostes:

- 1/4 de cm². Molt bé! hem interioritzat les fraccions.

- Mig cm². Barregem costat amb superfície.

Ho han intentat amb una unitat més petita, ja és bo; però amb resultats diversos:

- 25 mm². Anem bé.

- 2,5 mm² Ja comencem amb els moviments de coma un tant aleatoris.

- 5 mm². Barregem costat amb superfície...

Però ningú ha dit 0,25 cm². M'ha fet gràcia perquè és la que jo tenia al cap. Però a partir de la fracció els ha resultat evident.

Hem comptat quants mm² teníem en el nostre cm² inicial, a partir d'això, trobar la superfície del quadradet ha estat bufar i fer ampolles.

Material manipulable a l'aula de matemàtiques

En la interessant xerrada que comento en l'article anterior, hi ha haver un punt en el que discrepo del plantejament que va fer el conferenciant. Ens va dir que en relació al càlcul el material (manipulatiu) no s'hauria de donar en general. No recordo les paraules exactes, però va ser el símil amb les crosses. En el sentit que no podem donar crosses per caminar als alumnes que ja saben caminar. Em va agradar molt el símil amb el caminar dels nens, perquè jo també sovint penso en aquest aprenentatge a l'hora de repensar l'aprenentatge de les matemàtiques (veure caminar i matemàtiques, per exemple). Agafo la seva idea com a punt de partida de la meva exposició, però em sembla clar que ell no defensava la contrària.

És cert que el material és una ajuda i en aquest sentit el podem veure com unes crosses que ajuden a caminar. Jo penso, però, que el material és més com l'etapa del gateig. És una etapa que permet desplaçar-se als nens que no saben caminar. És caminar de manera fàcil podria dir algú. Fins i tot els teòrics més estrictes arribarien a dir que és caminar fent trampes. Uns pares impacients per veure el seu fill caminar podrien arribar a pensar que té problemes si allarga 'massa' això d'anar de quatre grapes. I en canvi ara, això del gateig està a l'ordre del dia.

Jo penso que el material manipulatiu permet fer un esglaó intermedi en l'aprenentatge.

I potser hi ha nens que no el necessiten perquè són capaços de fer el salt sense manipular. Sense manipular a l'aula ja ho sabem, perquè són molts els nens que aprenen a fer operacions sense haver treballat a l'aula material manipulatiu. Però el que no sabem és si fora de l'aula han manipulat coses tot relacionant-les amb el treball escrit de l'aula. Per això és tant important que els nens parin taula: Som tres, però necessitem dos culleres grans i una petita per en Pere...

Però sí que sabem que hi ha nens que sense aquest esglaó ho tenen més difícil. Per tant, on hi ha dificultat per adquirir el sentit numèric o altres conceptes, no hi ha excusa per no fer servir material manipulatiu. Seguint el símil fins a l'extrem seria semblant a no deixar que un nen es desplaci fins que no ho sàpiga fer caminant dret sobre els dos peus. No vull imaginar un món on fos prohibit deixar gatejar als nens.

Està clar que no hem d'obligar a fer els càlculs usant material si els nens ja els saben fer sense, però ha d'estar disponible. I les coses disponibles estan sobre la taula, no dins d'un armari i a sota d'un feix de papers.



Per exemple, deixar material de fraccions com el de la figura a la vista dels alumnes quan es fan problemes de fraccions i donar-los l'oportunitat de fer-lo servir si tenen dificultat amb el problema pot anar molt bé.

En un problema del tipus: "M'he gastat 1/5 dels diners estalviats en un regal per en Jordi i encara em queden 80€, quants en tenia d'estalviats?" treballar amb material és d'una gran ajuda. És més senzill moure peces de fusta que començar a dibuixar rectangles en un paper en blanc. De la fusta als diagrames en paper, i dels diagrames al càlcul directe. Sí, ja ho sé, hi ha alumnes que no ho necessiten.

I no ens ha de fer cap por que s'hi acostumin. Cap alumne farà servir el material quan no ho necessiti, potser només en un primer moment per comprovar, o per agafar seguretat. Heu vist algun nen que després d'aprendre a caminar i fer-ho amb seguretat, es desplaci a quatre grapes.

No és més habitual veure a les classes de psicomotricitat alumnes que es fan el ''lest'' i quan l'exercici és de gatejar s'aixequen (si no els mira la mestra) per arribar abans?

El material és una ajuda per adquirir determinats conceptes i estem obligats a facilitar-lo quan sigui necessari.

Per un altre dia, deixo pendent el tema de les sabates i l'aprenentatge de la matemàtica.

Cap on va la matemàtica a l'escola? Els càlculs.

Aquest dissabte vaig tenir la sort de poder escoltar en Lluís Segarra en una xerrada a professors de matemàtiques. Va ser una d'aquelles xerrades que et fa pensar coses noves i repensar-ne d'antigues. Fa una mica d'esbós de com ha de ser el currículum de matemàtiques, però cal molta feina per a concretar-lo. Una xerrada que barreja plantejaments de fonaments amb alguna curiositat, tot presentat amb una bona dosi de bon humor. De la xerrada i altres idees en surten els següents punts:

Primer. Els algorismes escrits de càlcul aritmètic (suma, resta, multiplicació i divisió) perdran pes curricular. En Lluís parla de les tendències europees i del fet que no són els més eficients per a resoldre determinades tasques. Dit d'una altra manera, cauran pel seu propi pes. I és que realment són molt pesats!

Aquests algorismes escrits s'hauran de substituir per el que ell anomena càlcul global, de manera que els alumnes, per a un determinat conjunt de nombres, puguin realitzar els càlculs de cap. És important la remarca que va fer en el sentit que càlcul mental no vol dir reproduir el càlcul escrit dins el cap (cosa que alguns alumnes fan i que hauriem d'admirar i compadir a parts iguals), sinó disposar d'estratègies de càlcul diferents.

Segon. Sí a les taules de multiplicar. Les taules de multiplicar són indispensables per a fer càlcul mental de manera eficient. Ell proposa de fer-les arribar al dotze per la importància que té aquest nombre en la nostra cultura.

Però jo afegeixo quan un alumne demostra amb fets, any rera any, que no se sap les taules de multiplicar, facilitem-li una calculadora! No el podem condemnar a quedar-se fora de tota l'aritmètica i l'àlgebra que volem que aprengui. O aturem el currículum fins que se les sàpiga. Però no podem anar avançant fent veure que se les sap. Jo veig més factible facilitar-li una calculadora i donar-li temps per aprendre les taules (el component emocional de l'aprenentatge té un paper important).

Tercer. En Lluís ens va proposar una classificació de nombres en tres categories: petits, mitjans i grans. Categories flexibles segons l'edat, i proposant per a cada una d'aquestes uns mètodes de càlcul. És una classificació que ens anirà molt bé de cara a organitzar-nos, però que hem de poder concretar de manera flexible. De manera semblant passa a l'hora de desplaçar-nos. Tots estem d'acord que per a trajectes petits podem anar a peu, per altres amb bicicleta, altres amb cotxe i altres amb avió. Però ens revoltaríem el dia que el govern dictés una norma dient: Per a menys d'1 km és obligatori anar a peu, d'1 km a 5 km només podem anar amb bicicleta, i per a poder fer servir el cotxe el trajecte mínim ha de ser de 5 km.

I també és important separar les destreses de càlcul d'altres disciplines matemàtiques o del propi càlcul. Les destreses de càlcul són importants, no només per a calcular de manera eficient sinó per a reconèixer patrons, per exemple. Però per a resoldre problemes el que necessitem habitualment és calcular, independentment de qui o què realitza el càlcul. No cal, doncs, privar als alumnes que no han adquirit destresa en el càlcul del plaer de resoldre problemes de matemàtiques. Treballem les habilitats de càlcul, però deixem també llibertat d'ús de la calculadora o similars quan l'objectiu sigui un altre.

Quart. La importància de la història de les matemàtiques. Estem explicant als nostres alumnes, des dels 3 anys, conceptes que la humanitat ha trigat milers d'anys a elaborar, siguem una mica respectuosos amb els seus ritmes. Els hindús van trigar segles per inventar el sistema de numeració decimal que fem servir, no és estrany tenir algun alumne que no el copsa a l'hora que la resta de companys. I és que hi ha aprenentatges que són molt progressius, però en matemàtiques sovint anem a batzegades semblants a les il·luminacions místiques, o potser millor, semblants a l'Eureka arquimedià. Cadascú fa 'el clic' al seu moment.

Cinquè. Va parlar de la interpretació de la divisió de fraccions. Efectivament, és difícil explicar què vol dir dividir fraccions. Però en part és difícil perquè tenim i donem una visió molt parcial del concepte de divisió. Associar dividir a repartir és empobrir molt la divisió. Si entenem la divisió 15/3 com a resposta a la pregunta de quantes vegades hi cap el 3 en el 15, també ens serà fàcil entendre que 1/2 : 1/4 és 2. O que un mig entre tres quarts són dos terços. Aquest deu ser el càlcul global a què fa referència en Lluís, molt lligat al concepte de la operació.

Observació: No s'haurien d'ensenyar els algorismes escrits fins que no es domini el càlcul directe de les operacions amb les quantitats que ho permetin. I això és vàlid per a tot tipus d'algorisme:
- No ensenyem els algorismes de sumar, restar, multiplicar o dividir fins que no en sàpiguen.
- No ensenyem els algorismes de sumar fraccions amb el mateix denominador. És un algorisme que no s'hauria d'ensenyar mai. La frase "sumem els numeradors i deixem igual el denominador" és perversa".
- No ensenyem l'algorisme de sumar fraccions amb diferents denominadors fins que no ho sàpiguen fer. Han de saber que 1/2 + 2/3 = 5/6, o com a mínim veure clarament que 1/2 + 1/4 = 3/4.
- No ensenyem l'algorisme de calcular tants per cent fins que no sàpiguen calcular com a mínim el 0%, 10%, 25%, 50%, 75%, 90%, 100%, 200%.
- No ensenyem l'algorisme de calcular mcm o MCD fins que no els saben trobar.

Serà l'única manera de fer-los veure que l'algorisme no és l'operació i tinguin quelcom sòlid per a recordar l'algorisme. I això és vàlid per a cada alumne. No s'hi val a dir que la majoria ja ho sap per a desvetllar el secret. És precisament l'altra minoria, la que més val que no conegui el secret encara.

Per regla general no ensenyem els algorismes de càlcul fins el curs següent d'haver-se presentat aquest càlcul. És més, els algorismes de càlcul de fraccions, tants per cents i mcm no caldria explicar-los a primària, només caldria que sabessin fer els càlculs (=trobar el resultat) amb nombres petits.

I respecte del càlcul amb fraccions i tants per cent sentim dir:
- És que quan ho explico així (algorísmicament) ho entenen i ho fan bé. Si primer els he d'explicar el concepte perdo molt de temps que no tinc.
Parlem-ne. Què entenen? el concepte no, perquè no l'expliquem. Ho fan bé? Vol dir que durant aquella setmana i en un tant per cent determinat de casos encerten el resultat. Però i el curs següent quan hem de tornar a explicar com es sumen fraccions o calculen tants per cent? Si el que volem és velocitat i encert, per calcular amb fraccions el millor són les calculadores.

Per acabar: una imatge i un llibre.

Una imatge relacionada amb la xerrada. L'Aritmètica fent de jutge entre abacistes i els que feien servir les xifres. És un gravat de l'any 1503 d'un llibre d'aritmètica publicat a Freiburg.

Un llibre. Uns 20 anys abans, el 1482, s'havia publicat en català a Barcelona la Summa de la art de arismètica de Francesc Santcliment, un tractat d'aritmètica mercantil. El primer de la península i dels primers d'Europa. En ell s'explica com escriure i calcular amb les xifres, a fer regles de tres i resoldre problemes de barreges i de conversió de monedes. Hi ha parts que són clavades als llibres de text de 2n d'ESO actuals, i té més de 500 anys... ;)

Facebook, un tabú a les aules

A l'educació tenim uns quants dimonis -coses que espanten i de les quals cal protegir-se- i el Facebook n'és un. De fet, durant un temps el Facebook ha estat el perill més gran a l'hora de fer entrar els ordinadors a les aules, deu ser que a les aules d'informàtica on ja fa anys que hi tenim ordinadors no hi podia entrar.

Ara ja tenim les aules d'adolescents plenes d'ordinadors. Gairebé dos ordinadors per alumne: un a sobre la taula i l'altre embotit dins d'una butxaca. Però el Facebook continua proscrit, continua essent un dimoni que porta mals.

Però altra vegada culpem l'eina del seu ús. Però això té un perill més gran, a parer meu, que els perills d'un mal ús. Si el fem fora de l'aula el fem fora de l'àmbit educatiu, educar en el bon ús del Facebook s'ha de fer de manera regular, no amb una xerrada puntual.

Imagino una classe de primària o secundària demanant als alumnes que obrin el seu Facebook i fent-los preguntes com aquestes:
- Quants escrits reps al mur que parlin bé de la gent?
- Quins comentaris has rebut que t'hagin agradat?
- Quins parlaven bé de tu?
- I tu, parlaves bé dels altres?
- Quin comentari podries afegir per ajudar a aquest company?
- Val la pena deixar-ho per escrit? No és millor que t'hi acostis a l'hora del pati i li comentis?

I compartir pàgines interessants amb ells? No tot és ximpleria al Facebook. Els ho fem saber? Els donem l'oportunitat de conèixer-les? Si no els acompanyem mentre facebookegen ens serà molt difícil fer-ho.

Senzillament no veig els beneficis de deixar el Facebook fora de les aules. Els alumnes es distreuen menys? potser sí. Aprofiten aquest diferencial? Ja no ho tinc tant clar.

Quina utilitat tindria deixar entrar el Facebook? una norma de disciplina menys i una oportunitat més d'educar.

L'escola-a-casa a l'escola

Ahir una piulada de @NAlmansa em va dur a llegir un article sobre "què ha de saber un nen de 4 anys?". En l'article l'autora, Alicia Bayer, s'escandalitza de converses a Internet de pares preocupats pels coneixements acadèmics dels seus fills, i de respostes d'experts que encara podien abocar més angoixa als preocupats pares.

En ell s'hi pot llegir una bona defensa del que és principal: els nens han de saber que els seus pares els estimen. I a quatre anys això se sap si es viu, si s'experimenta. Després d'aquesta important i prèvia remarca, l'autora parla de continguts més acadèmics, que diu que ja s'aniran aprenent si els posem suficientment a l'abast.

Avui he vist que la piulada encara piulava entre elogis de la comunitat educativa reglada. Escric això de reglada perquè l'autora és mestra a casa, que ha decidit fer el que s'anomena escola a casa, que malgrat que aquí és una qüestió com a mínim exòtica, a d'altres països és més normal.

Jo també he trobat l'article ben interessant, és d'aquelles coses que cal que anem recordant, però més enllà de repetir als pares quina és la seva feina, aquest article interpel·la l'escola reglada, que podríem anomenar l'escola-a-l'escola en contraposició de l'escola-a-casa.

Em sembla que part de l'elogi a l'article ve motivat per un desig, potser poc concret, de canviar les estructures escolars més properes a les necessitats dels alumnes, més flexibles, més allunyades del model d'anar introduint coneixements als caps dels alumnes, i més semblants a preparar l'entorn perquè el nen aprengui. L'article, encara que de passada, en dóna algunes pistes:

-  "She should know that the world is magical and that so is she. She should know that she's wonderful, brilliant, creative, compassionate and marvelous." En la línia del que podem llegir en un altre article que també em va arribar a través d'una piulada, en aquest cas, de @osalvad1. Als alumnes els hem de convèncer que són capaços.

-  "Since we homeschool, I occasionally print out the lists and check to see if there's anything glaringly absent in what my kids know. So far there hasn't been, but I get ideas sometimes for subjects to think up games about or books to check out from the library. Whether you homeschool or not, the lists can be useful to see what kids typically learn each year and can be reassuring that they really are doing fine." No hi ha una programació d'activitats, sinó una llista de fites. Cal tenir clar on volem arribar, però no sabrem el com fins que no coneguem bé qui ens acompanya. Evidentment cal estar preparats i tenir un bon rebost d'activitats a fer. Però la relativització de programacions de continguts, que no la d'objectius, és un bon camí per a la casolanització de l'escola.

I un petit apunt més sobre la relativització de continguts. Donar importància als continguts per una prova, però eximir (a la pràctica) els alumnes se saber-los en els temes posteriors, és un contrasentit enorme. I demostra el poc valor que nosaltres donem a aquests continguts. 

I aquest és un altre punt en el que podem aprendre molt de l'escola a casa. L'escola a casa la fan els pares i mares que estimen els seus fills i precisament són molt curosos en seleccionar allò que és important per ells. I això em porta a un final una mica provocador. Les lleis educatives es fan pensant en el que convé a la societat (amb condicionants econòmics i laborals importants), l'escola a casa es fa pensant en el què convé als fills (també amb d'altres condicionants). I no dic que siguin necessàriament objectius diferents.

Àlgebra, aprendre no és entendre

Avui us parlaré d'iniciar l'àlgebra a poc a poc.

La introducció de l'àlgebra a l'ESO és plena de miratges de l'aprenentatge. Situacions en les quals els professors confonem l'aprendre amb l'entendre. En el sentit que els alumnes aprenen que x+x = 2x, i que 2x+1=5 es resol obtenint x=2. Ho aprenen, per uns dies...

Potser tenim massa pressa a ensenyar-los a resoldre equacions. Fins i tot passem ràpid el calcular el valor numèric d'expressions algèbriques. Quan veiem que un alumne ja sap substituir la x per 3 en l'expressió 4x+5 pensem que ja ha entès la base de l'àlgebra, quan en veritat ha aprés a fer un procediment --i de fet, sovint multiplica el 4 per 3 perquè hi ha el signe de multiplicar: la x --.

Sí, és cert, n'hi ha que ja ho han après i entès. Però a la classe en tenim 30 d'alumnes.

A continuació un mostro algunes instantànies d'una sessió d'àlgebra a 1r d'ESO.

Col·loco un casc i hi poso uns quants llapis, i en deixo dos a fora que es vegin clarament.

I ara la pregunta del professor: "Escriu quants llapis hi ha a la taula del professor."

Respostes:

Fixeu-vos que a la tercera versió, el significat de la x varia. Primer són tots, i després són només els de dins el casc. Els animo a fer servir lletres diferents, malgrat aquests exemples són amb x.

Considero que fins que els alumnes no han estat capaços d'expressar correctament aquesta situació utilitzant el llenguatge algebraic estàndard, no té sentit anar més enllà. Ara ja hi podem anar.

Una setmana més tard...

Dues taules: la del professor i la de l'alumne. La noia que ens va deixar el casc, avui l'ha acompanyat el seu pare en cotxe. Amaguem els llapis dins de llibres.

I afegeixo: "Us asseguro que hi ha la mateixa quantitat de llapis a la taula del professor que a la de l'alumne." I ho dic tant convençut que em creuen. Els demano que ho posin per escrit:

M'encanta la diversitat de propostes. El primer és el que se'ns acut a la majoria. El segon és d'algú que dedueix que la quantitat total de llapis és 8, 7 es veuen i 1 no. I el tercer, és algú que descriu la situació però sense fer explícit que el total de llapis és 8. Suma les parts i les iguala a un total desconegut.

Estareu d'acord amb mi que els tres són correctes, i se'ls ho ha de reconèixer. Ja veuran més endavant, que uns són més pràctics que els altres, però aquest és un procés del que tenen el dret a gaudir-ne.

I el més important d'això és que saben, sense haver-ho de fer explícit, que les lletres representen una quantitat desconeguda, que té sentit de ser sumada i igualada.