Un metre quadrat ha de ser quadrat?

Estem treballant les unitats a primer d'ESO. Procuro donar molta importància al fet que els alumnes visualitzin les unitats. Han de saber què és un metre o un centímetre, no només a partir de la definició sinó la mida que els correspon.

Abans de dir res, els demano que separin els dits un centímetre. Si no ho heu fet, us ho recomano.

Ara feia dies que parlàvem de metres quadrats, fins i tot, n'havíem portat a l'aula en paper o tela. Però amb alguns comentaris te n'adones que hi ha alguna cosa que no encaixa, que sembla que s'entén però no del tot... així que els he fet la següent pregunta:

Una superfície que ocupi un metre quadrat, ha de ser quadrada? Per deixar-ho clar: una taula que té una superfície d'un metre quadrat, ha de ser quadrada?

Aquesta pregunta els ha descol·locat. Moltes respostes errònies que s'han corregit amb molta facilitat i amb un simple dibuix d'un metre quadrat, que hem partit tot desplaçant un dels rectangles al costat de l'altre. La superfície es mantenia constant i no era quadrat. És fàcil avançar si els conceptes estan ben fonamentats.

Una altra pregunta interessant... 

Quina és la superfície d'un quadradet de la llibreta si 4 quadradets tenen una superfície d'un centímetre quadrat?

Algunes de les respostes:

- 1/4 de cm². Molt bé! hem interioritzat les fraccions.

- Mig cm². Barregem costat amb superfície.

Ho han intentat amb una unitat més petita, ja és bo; però amb resultats diversos:

- 25 mm². Anem bé.

- 2,5 mm² Ja comencem amb els moviments de coma un tant aleatoris.

- 5 mm². Barregem costat amb superfície...

Però ningú ha dit 0,25 cm². M'ha fet gràcia perquè és la que jo tenia al cap. Però a partir de la fracció els ha resultat evident.

Hem comptat quants mm² teníem en el nostre cm² inicial, a partir d'això, trobar la superfície del quadradet ha estat bufar i fer ampolles.

Àlgebra, aprendre no és entendre

Avui us parlaré d'iniciar l'àlgebra a poc a poc.

La introducció de l'àlgebra a l'ESO és plena de miratges de l'aprenentatge. Situacions en les quals els professors confonem l'aprendre amb l'entendre. En el sentit que els alumnes aprenen que x+x = 2x, i que 2x+1=5 es resol obtenint x=2. Ho aprenen, per uns dies...

Potser tenim massa pressa a ensenyar-los a resoldre equacions. Fins i tot passem ràpid el calcular el valor numèric d'expressions algèbriques. Quan veiem que un alumne ja sap substituir la x per 3 en l'expressió 4x+5 pensem que ja ha entès la base de l'àlgebra, quan en veritat ha aprés a fer un procediment --i de fet, sovint multiplica el 4 per 3 perquè hi ha el signe de multiplicar: la x --.

Sí, és cert, n'hi ha que ja ho han après i entès. Però a la classe en tenim 30 d'alumnes.

A continuació un mostro algunes instantànies d'una sessió d'àlgebra a 1r d'ESO.

Col·loco un casc i hi poso uns quants llapis, i en deixo dos a fora que es vegin clarament.

I ara la pregunta del professor: "Escriu quants llapis hi ha a la taula del professor."

Respostes:

Fixeu-vos que a la tercera versió, el significat de la x varia. Primer són tots, i després són només els de dins el casc. Els animo a fer servir lletres diferents, malgrat aquests exemples són amb x.

Considero que fins que els alumnes no han estat capaços d'expressar correctament aquesta situació utilitzant el llenguatge algebraic estàndard, no té sentit anar més enllà. Ara ja hi podem anar.

Una setmana més tard...

Dues taules: la del professor i la de l'alumne. La noia que ens va deixar el casc, avui l'ha acompanyat el seu pare en cotxe. Amaguem els llapis dins de llibres.

I afegeixo: "Us asseguro que hi ha la mateixa quantitat de llapis a la taula del professor que a la de l'alumne." I ho dic tant convençut que em creuen. Els demano que ho posin per escrit:

M'encanta la diversitat de propostes. El primer és el que se'ns acut a la majoria. El segon és d'algú que dedueix que la quantitat total de llapis és 8, 7 es veuen i 1 no. I el tercer, és algú que descriu la situació però sense fer explícit que el total de llapis és 8. Suma les parts i les iguala a un total desconegut.

Estareu d'acord amb mi que els tres són correctes, i se'ls ho ha de reconèixer. Ja veuran més endavant, que uns són més pràctics que els altres, però aquest és un procés del que tenen el dret a gaudir-ne.

I el més important d'això és que saben, sense haver-ho de fer explícit, que les lletres representen una quantitat desconeguda, que té sentit de ser sumada i igualada.

Representacions a escala i diagnosi inicial

L'objectiu d'avui era dibuixar la pista de bàsquet a escala en un full quadriculat. Abans de començar calia esbrinar si tots enteníem el mateix per un dibuix a escala.

- Què vol dir un dibuix a escala?

Silenci. El més agosarat contesta:

- Un dibuix com inclinat.

Aquí hom se n'adona de la importància de la diagnosi inicial. L'avaluació inicial, que és el terme que usem a l'ensenyament per aquesta diagnosi, té la seva importància. Per això la fem, i la fem majoritàriament bé. El problema rau en què les estructures de les que disposem no ens permeten aplicar tractaments diferents a simptomatologies diferents.


És com si anéssim al metge a què ens curin el peu. I tots els que necessitem que ens curin el peu ens posen el mateix tractament. Malgrat el tractament fos molt bo, és evident que a qui té un ull de poll no se li ha de fer el mateix que el que s'ha trencat un dit. I això suposant que estiguis al grup del mal de peu. Perquè amb el sistema actual vés a saber si no et toca anar amb els que tenen mal de panxa.


Evidentment no dic que els estudiants siguin malalts, sinó que tenen necessitats diferents. Comparteixen algunes necessitats, però no totes.

Crec que dient que volia un dibuix exactament igual però més petit m'han entès perfectament. I realment ho han aconseguit.

L'escala proposada inicialment era 1 rajola : 1 quadret del paper. Aviat han vist que amb aquesta escala no hi cabia, hem acordat una nova escala, 2 rajoles : 1 quadret. Deixant de banda el dibuix de la línia de 3 punts que només alguns han sabut dibuixar  a partir d'uns quants punts de referència, tot reforçant el concepte de coordenades en el pla, tots han fet un bon dibuix a escala.

Per alguns ha estat la primera vegada que feien un dibuix a escala sabent què feien. Potser més endavant els podrem parlar d'escales 1:100, però fer-ho abans a aquests alumnes no ha estat gaire productiu. Deixant de banda el fet que si bé no són malalts de pacients en són molt.

Caldrà seguir el debat que s'està re-obrint sobre la conveniència d'agrupar amb tant rigor els alumnes segons la seva edat.