Noves metodologies per a fer què?

Últimament tinc la impressió que centrem els canvis a l'escola en relació a les metodologies: grups cooperatius, coavaluació, autoavaluació, codocència, i tot un seguit de mètodes per a explicar...
També parlem que no és tant explicar sinó que cal que l'alumne descobreixi i creï.

Però què és el que hem d'explicar o han de descobrir? Quins són els continguts? Fins que no tinguem clara aquesta resposta l'eficiència del canvi serà relativa.

PD:Això ho vaig escriure el 2015 i va quedar com esborrany. A gener de 2021 la pregunta continua tenint sentit.

Material manipulable a l'aula de matemàtiques

En la interessant xerrada que comento en l'article anterior, hi ha haver un punt en el que discrepo del plantejament que va fer el conferenciant. Ens va dir que en relació al càlcul el material (manipulatiu) no s'hauria de donar en general. No recordo les paraules exactes, però va ser el símil amb les crosses. En el sentit que no podem donar crosses per caminar als alumnes que ja saben caminar. Em va agradar molt el símil amb el caminar dels nens, perquè jo també sovint penso en aquest aprenentatge a l'hora de repensar l'aprenentatge de les matemàtiques (veure caminar i matemàtiques, per exemple). Agafo la seva idea com a punt de partida de la meva exposició, però em sembla clar que ell no defensava la contrària.

És cert que el material és una ajuda i en aquest sentit el podem veure com unes crosses que ajuden a caminar. Jo penso, però, que el material és més com l'etapa del gateig. És una etapa que permet desplaçar-se als nens que no saben caminar. És caminar de manera fàcil podria dir algú. Fins i tot els teòrics més estrictes arribarien a dir que és caminar fent trampes. Uns pares impacients per veure el seu fill caminar podrien arribar a pensar que té problemes si allarga 'massa' això d'anar de quatre grapes. I en canvi ara, això del gateig està a l'ordre del dia.

Jo penso que el material manipulatiu permet fer un esglaó intermedi en l'aprenentatge.

I potser hi ha nens que no el necessiten perquè són capaços de fer el salt sense manipular. Sense manipular a l'aula ja ho sabem, perquè són molts els nens que aprenen a fer operacions sense haver treballat a l'aula material manipulatiu. Però el que no sabem és si fora de l'aula han manipulat coses tot relacionant-les amb el treball escrit de l'aula. Per això és tant important que els nens parin taula: Som tres, però necessitem dos culleres grans i una petita per en Pere...

Però sí que sabem que hi ha nens que sense aquest esglaó ho tenen més difícil. Per tant, on hi ha dificultat per adquirir el sentit numèric o altres conceptes, no hi ha excusa per no fer servir material manipulatiu. Seguint el símil fins a l'extrem seria semblant a no deixar que un nen es desplaci fins que no ho sàpiga fer caminant dret sobre els dos peus. No vull imaginar un món on fos prohibit deixar gatejar als nens.

Està clar que no hem d'obligar a fer els càlculs usant material si els nens ja els saben fer sense, però ha d'estar disponible. I les coses disponibles estan sobre la taula, no dins d'un armari i a sota d'un feix de papers.



Per exemple, deixar material de fraccions com el de la figura a la vista dels alumnes quan es fan problemes de fraccions i donar-los l'oportunitat de fer-lo servir si tenen dificultat amb el problema pot anar molt bé.

En un problema del tipus: "M'he gastat 1/5 dels diners estalviats en un regal per en Jordi i encara em queden 80€, quants en tenia d'estalviats?" treballar amb material és d'una gran ajuda. És més senzill moure peces de fusta que començar a dibuixar rectangles en un paper en blanc. De la fusta als diagrames en paper, i dels diagrames al càlcul directe. Sí, ja ho sé, hi ha alumnes que no ho necessiten.

I no ens ha de fer cap por que s'hi acostumin. Cap alumne farà servir el material quan no ho necessiti, potser només en un primer moment per comprovar, o per agafar seguretat. Heu vist algun nen que després d'aprendre a caminar i fer-ho amb seguretat, es desplaci a quatre grapes.

No és més habitual veure a les classes de psicomotricitat alumnes que es fan el ''lest'' i quan l'exercici és de gatejar s'aixequen (si no els mira la mestra) per arribar abans?

El material és una ajuda per adquirir determinats conceptes i estem obligats a facilitar-lo quan sigui necessari.

Per un altre dia, deixo pendent el tema de les sabates i l'aprenentatge de la matemàtica.

Cap on va la matemàtica a l'escola? Els càlculs.

Aquest dissabte vaig tenir la sort de poder escoltar en Lluís Segarra en una xerrada a professors de matemàtiques. Va ser una d'aquelles xerrades que et fa pensar coses noves i repensar-ne d'antigues. Fa una mica d'esbós de com ha de ser el currículum de matemàtiques, però cal molta feina per a concretar-lo. Una xerrada que barreja plantejaments de fonaments amb alguna curiositat, tot presentat amb una bona dosi de bon humor. De la xerrada i altres idees en surten els següents punts:

Primer. Els algorismes escrits de càlcul aritmètic (suma, resta, multiplicació i divisió) perdran pes curricular. En Lluís parla de les tendències europees i del fet que no són els més eficients per a resoldre determinades tasques. Dit d'una altra manera, cauran pel seu propi pes. I és que realment són molt pesats!

Aquests algorismes escrits s'hauran de substituir per el que ell anomena càlcul global, de manera que els alumnes, per a un determinat conjunt de nombres, puguin realitzar els càlculs de cap. És important la remarca que va fer en el sentit que càlcul mental no vol dir reproduir el càlcul escrit dins el cap (cosa que alguns alumnes fan i que hauriem d'admirar i compadir a parts iguals), sinó disposar d'estratègies de càlcul diferents.

Segon. Sí a les taules de multiplicar. Les taules de multiplicar són indispensables per a fer càlcul mental de manera eficient. Ell proposa de fer-les arribar al dotze per la importància que té aquest nombre en la nostra cultura.

Però jo afegeixo quan un alumne demostra amb fets, any rera any, que no se sap les taules de multiplicar, facilitem-li una calculadora! No el podem condemnar a quedar-se fora de tota l'aritmètica i l'àlgebra que volem que aprengui. O aturem el currículum fins que se les sàpiga. Però no podem anar avançant fent veure que se les sap. Jo veig més factible facilitar-li una calculadora i donar-li temps per aprendre les taules (el component emocional de l'aprenentatge té un paper important).

Tercer. En Lluís ens va proposar una classificació de nombres en tres categories: petits, mitjans i grans. Categories flexibles segons l'edat, i proposant per a cada una d'aquestes uns mètodes de càlcul. És una classificació que ens anirà molt bé de cara a organitzar-nos, però que hem de poder concretar de manera flexible. De manera semblant passa a l'hora de desplaçar-nos. Tots estem d'acord que per a trajectes petits podem anar a peu, per altres amb bicicleta, altres amb cotxe i altres amb avió. Però ens revoltaríem el dia que el govern dictés una norma dient: Per a menys d'1 km és obligatori anar a peu, d'1 km a 5 km només podem anar amb bicicleta, i per a poder fer servir el cotxe el trajecte mínim ha de ser de 5 km.

I també és important separar les destreses de càlcul d'altres disciplines matemàtiques o del propi càlcul. Les destreses de càlcul són importants, no només per a calcular de manera eficient sinó per a reconèixer patrons, per exemple. Però per a resoldre problemes el que necessitem habitualment és calcular, independentment de qui o què realitza el càlcul. No cal, doncs, privar als alumnes que no han adquirit destresa en el càlcul del plaer de resoldre problemes de matemàtiques. Treballem les habilitats de càlcul, però deixem també llibertat d'ús de la calculadora o similars quan l'objectiu sigui un altre.

Quart. La importància de la història de les matemàtiques. Estem explicant als nostres alumnes, des dels 3 anys, conceptes que la humanitat ha trigat milers d'anys a elaborar, siguem una mica respectuosos amb els seus ritmes. Els hindús van trigar segles per inventar el sistema de numeració decimal que fem servir, no és estrany tenir algun alumne que no el copsa a l'hora que la resta de companys. I és que hi ha aprenentatges que són molt progressius, però en matemàtiques sovint anem a batzegades semblants a les il·luminacions místiques, o potser millor, semblants a l'Eureka arquimedià. Cadascú fa 'el clic' al seu moment.

Cinquè. Va parlar de la interpretació de la divisió de fraccions. Efectivament, és difícil explicar què vol dir dividir fraccions. Però en part és difícil perquè tenim i donem una visió molt parcial del concepte de divisió. Associar dividir a repartir és empobrir molt la divisió. Si entenem la divisió 15/3 com a resposta a la pregunta de quantes vegades hi cap el 3 en el 15, també ens serà fàcil entendre que 1/2 : 1/4 és 2. O que un mig entre tres quarts són dos terços. Aquest deu ser el càlcul global a què fa referència en Lluís, molt lligat al concepte de la operació.

Observació: No s'haurien d'ensenyar els algorismes escrits fins que no es domini el càlcul directe de les operacions amb les quantitats que ho permetin. I això és vàlid per a tot tipus d'algorisme:
- No ensenyem els algorismes de sumar, restar, multiplicar o dividir fins que no en sàpiguen.
- No ensenyem els algorismes de sumar fraccions amb el mateix denominador. És un algorisme que no s'hauria d'ensenyar mai. La frase "sumem els numeradors i deixem igual el denominador" és perversa".
- No ensenyem l'algorisme de sumar fraccions amb diferents denominadors fins que no ho sàpiguen fer. Han de saber que 1/2 + 2/3 = 5/6, o com a mínim veure clarament que 1/2 + 1/4 = 3/4.
- No ensenyem l'algorisme de calcular tants per cent fins que no sàpiguen calcular com a mínim el 0%, 10%, 25%, 50%, 75%, 90%, 100%, 200%.
- No ensenyem l'algorisme de calcular mcm o MCD fins que no els saben trobar.

Serà l'única manera de fer-los veure que l'algorisme no és l'operació i tinguin quelcom sòlid per a recordar l'algorisme. I això és vàlid per a cada alumne. No s'hi val a dir que la majoria ja ho sap per a desvetllar el secret. És precisament l'altra minoria, la que més val que no conegui el secret encara.

Per regla general no ensenyem els algorismes de càlcul fins el curs següent d'haver-se presentat aquest càlcul. És més, els algorismes de càlcul de fraccions, tants per cents i mcm no caldria explicar-los a primària, només caldria que sabessin fer els càlculs (=trobar el resultat) amb nombres petits.

I respecte del càlcul amb fraccions i tants per cent sentim dir:
- És que quan ho explico així (algorísmicament) ho entenen i ho fan bé. Si primer els he d'explicar el concepte perdo molt de temps que no tinc.
Parlem-ne. Què entenen? el concepte no, perquè no l'expliquem. Ho fan bé? Vol dir que durant aquella setmana i en un tant per cent determinat de casos encerten el resultat. Però i el curs següent quan hem de tornar a explicar com es sumen fraccions o calculen tants per cent? Si el que volem és velocitat i encert, per calcular amb fraccions el millor són les calculadores.

Per acabar: una imatge i un llibre.

Una imatge relacionada amb la xerrada. L'Aritmètica fent de jutge entre abacistes i els que feien servir les xifres. És un gravat de l'any 1503 d'un llibre d'aritmètica publicat a Freiburg.

Un llibre. Uns 20 anys abans, el 1482, s'havia publicat en català a Barcelona la Summa de la art de arismètica de Francesc Santcliment, un tractat d'aritmètica mercantil. El primer de la península i dels primers d'Europa. En ell s'explica com escriure i calcular amb les xifres, a fer regles de tres i resoldre problemes de barreges i de conversió de monedes. Hi ha parts que són clavades als llibres de text de 2n d'ESO actuals, i té més de 500 anys... ;)

Àlgebra, aprendre no és entendre

Avui us parlaré d'iniciar l'àlgebra a poc a poc.

La introducció de l'àlgebra a l'ESO és plena de miratges de l'aprenentatge. Situacions en les quals els professors confonem l'aprendre amb l'entendre. En el sentit que els alumnes aprenen que x+x = 2x, i que 2x+1=5 es resol obtenint x=2. Ho aprenen, per uns dies...

Potser tenim massa pressa a ensenyar-los a resoldre equacions. Fins i tot passem ràpid el calcular el valor numèric d'expressions algèbriques. Quan veiem que un alumne ja sap substituir la x per 3 en l'expressió 4x+5 pensem que ja ha entès la base de l'àlgebra, quan en veritat ha aprés a fer un procediment --i de fet, sovint multiplica el 4 per 3 perquè hi ha el signe de multiplicar: la x --.

Sí, és cert, n'hi ha que ja ho han après i entès. Però a la classe en tenim 30 d'alumnes.

A continuació un mostro algunes instantànies d'una sessió d'àlgebra a 1r d'ESO.

Col·loco un casc i hi poso uns quants llapis, i en deixo dos a fora que es vegin clarament.

I ara la pregunta del professor: "Escriu quants llapis hi ha a la taula del professor."

Respostes:

Fixeu-vos que a la tercera versió, el significat de la x varia. Primer són tots, i després són només els de dins el casc. Els animo a fer servir lletres diferents, malgrat aquests exemples són amb x.

Considero que fins que els alumnes no han estat capaços d'expressar correctament aquesta situació utilitzant el llenguatge algebraic estàndard, no té sentit anar més enllà. Ara ja hi podem anar.

Una setmana més tard...

Dues taules: la del professor i la de l'alumne. La noia que ens va deixar el casc, avui l'ha acompanyat el seu pare en cotxe. Amaguem els llapis dins de llibres.

I afegeixo: "Us asseguro que hi ha la mateixa quantitat de llapis a la taula del professor que a la de l'alumne." I ho dic tant convençut que em creuen. Els demano que ho posin per escrit:

M'encanta la diversitat de propostes. El primer és el que se'ns acut a la majoria. El segon és d'algú que dedueix que la quantitat total de llapis és 8, 7 es veuen i 1 no. I el tercer, és algú que descriu la situació però sense fer explícit que el total de llapis és 8. Suma les parts i les iguala a un total desconegut.

Estareu d'acord amb mi que els tres són correctes, i se'ls ho ha de reconèixer. Ja veuran més endavant, que uns són més pràctics que els altres, però aquest és un procés del que tenen el dret a gaudir-ne.

I el més important d'això és que saben, sense haver-ho de fer explícit, que les lletres representen una quantitat desconeguda, que té sentit de ser sumada i igualada.

Representacions a escala i diagnosi inicial

L'objectiu d'avui era dibuixar la pista de bàsquet a escala en un full quadriculat. Abans de començar calia esbrinar si tots enteníem el mateix per un dibuix a escala.

- Què vol dir un dibuix a escala?

Silenci. El més agosarat contesta:

- Un dibuix com inclinat.

Aquí hom se n'adona de la importància de la diagnosi inicial. L'avaluació inicial, que és el terme que usem a l'ensenyament per aquesta diagnosi, té la seva importància. Per això la fem, i la fem majoritàriament bé. El problema rau en què les estructures de les que disposem no ens permeten aplicar tractaments diferents a simptomatologies diferents.


És com si anéssim al metge a què ens curin el peu. I tots els que necessitem que ens curin el peu ens posen el mateix tractament. Malgrat el tractament fos molt bo, és evident que a qui té un ull de poll no se li ha de fer el mateix que el que s'ha trencat un dit. I això suposant que estiguis al grup del mal de peu. Perquè amb el sistema actual vés a saber si no et toca anar amb els que tenen mal de panxa.


Evidentment no dic que els estudiants siguin malalts, sinó que tenen necessitats diferents. Comparteixen algunes necessitats, però no totes.

Crec que dient que volia un dibuix exactament igual però més petit m'han entès perfectament. I realment ho han aconseguit.

L'escala proposada inicialment era 1 rajola : 1 quadret del paper. Aviat han vist que amb aquesta escala no hi cabia, hem acordat una nova escala, 2 rajoles : 1 quadret. Deixant de banda el dibuix de la línia de 3 punts que només alguns han sabut dibuixar  a partir d'uns quants punts de referència, tot reforçant el concepte de coordenades en el pla, tots han fet un bon dibuix a escala.

Per alguns ha estat la primera vegada que feien un dibuix a escala sabent què feien. Potser més endavant els podrem parlar d'escales 1:100, però fer-ho abans a aquests alumnes no ha estat gaire productiu. Deixant de banda el fet que si bé no són malalts de pacients en són molt.

Caldrà seguir el debat que s'està re-obrint sobre la conveniència d'agrupar amb tant rigor els alumnes segons la seva edat.

Khanacademy amb registre propi

Avui he entrat a Khan Academy i he vist que ja han activat la possibilitat de registrar-se sense necessitat de disposar de compte a Google o Facebook.

Considero que és una gran notícia. Ara sí que us animo a entrar-hi i fer-hi una ullada. Val la pena usar la funció COACH si voleu fer un seguiment exhaustiu dels vostres alumnes.

Nota: No he llegit les condicions del registre, però espero que no continguin cap inconvenient més enllà de la manca de privacitat habitual i tolerable.

La web: www.khanacademy.org

Ensenyar a caminar, aprendre matemàtiques

Aquest matí, en una reunió de treball he dit que "sort que els nens aprenen a caminar sols, perquè si els ho ensenyés a fer, com ho faig amb les matemàtiques, molts dels meus alumnes no caminarien bé." És una frase provocativa que em servirà per posar de manifest alguna cosa que, en la meva modesta opinió, cal millorar en l'ensenyament de les matemàtiques.

No pretenc fer un paral·lelisme exacte que no seria correcte, però amb valdré de les similituds per caricaturitzar una mica.

Tenim plenament assumit, malgrat els pares tinguem pressa, que cada nen comença a caminar a una edat diferent. Dels 8 als 14 mesos (els pediatres ho podrien precisar més) seria un interval normal, en el sentit que no ens porta a pensar que un nen que camini als 14 és perquè té un problema de desenvolupament.

També sabem que el fet que un nen comenci més tard que un altre no vol dir que després no corri menys, ni que sigui menys àgil en un futur.

Senzillament esperem. Esperem donant-li oportunitats per aixecar-se, agafant-se a la barana del llit, a una cadira, recolzant-se a la paret; també podem agafar-lo de la mà per ajudar-lo a mantenir l'equilibri... Però no se'ns acudiria agafar-li els peus i moure'ls pel terra mentre l'aguantem dret tot fent veure que camina. Imaginem el pare de quatre grapes amb una mà a cada peu del nen, movent ara un peu, ara l'altre, mentre la mare l'aguanta en posició vertical. Ridícul oi? Fins i tot perillós si no ho fem amb extrema cura.

Doncs bé, quan un nen triga a descobrir determinats conceptes matemàtics, sigui a l'edat que sigui, enlloc de esperar l'obliguem a continuar amb mètodes artificials, bàsicament: repetir coses que no entén fins que les fa com els altres. Com que els altres ho han entès, se suposa que ell també ho ha d'haver entès.

La meva feina com a professor, és deixar que em vegi caminar, fer-li venir ganes de caminar, donar-li eines perquè s'ajudi a caminar... però tinc tanta pressa a veure'l caminar que massa sovint li agafo els peus i els moc per ell.

Un altre dia continuaré amb algunes coses que podem aprendre els professors de matemàtiques dels professors d'educació física.